Question

已知等差數(shù)列{a_n}，滿足a₈=5，且a₁，a₄，a₅成等比數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）若{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則當(dāng)n為何值時(shí)，S_n有最小值？
（3）若b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，可求出首項(xiàng)和公差，從而得到通項(xiàng)；
（2）可通過通項(xiàng)，判斷數(shù)列的單調(diào)性和各項(xiàng)的正負(fù)，即可求出最小值；
（3）討論1≤n≤5，求出T_n=-S_n，n＞5，由T_n=S_n-2S₅，即可求出答案，但不要忘記d=0的情況．

解答： 解（1）∵a₈=5，∴a₁+7d=5，
∵a₁，a₄，a₅成等比數(shù)列，
∴a₁（a₁+4d）=（a₁+3d）²，化簡得，4a₁d=6a₁d+9d²，
∴d=0，a₁=5或d=2，a₁=-9
∴a_n=5或a_n=-11+2n；
（2）顯然d≠0，由a_n≤0得，
-11+2n≤0，解得n≤

11

2

，即前5項(xiàng)都為負(fù)的，第6項(xiàng)起均為正，
故S_n的前5項(xiàng)和最�。�
（3）當(dāng)d=0時(shí)，b_n=5，T_n=5n；
當(dāng)d=2時(shí)，b_n=|a_n|=|-11+2n|，
當(dāng)n≤5時(shí)，S_n=

1

2

（-9-11+2n）n=n²-10n，
∴T_n=-n²+10n，
當(dāng)n≥6時(shí)，T_n=S_n-2S₅=-10n+n²-2×（25-50）=-10n+n²+50，
∴T_n=5n或T_n=

-n2+10n，n≤5 n2-10n+50，n≥6

．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和，及最值，同時(shí)考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題，也是易錯(cuò)題．