Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-mx²+

3

2

mx，（m＞0）
（1）當m=2時，
①求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
②求函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，0）處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，且當0≤x≤4m時，f（x）＜mx²+（

3

2

mx-3m²）x+36恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）①把m=2代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，解得導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，由導函數(shù)在不同區(qū)間段內的符號確定原函數(shù)的單調性；
②求出f′（0）的值，即函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，0）處的切線的斜率，由直線方程的點斜式得答案；
（2）由函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，得其導函數(shù)所對應的方程有兩個不同的實數(shù)根，由判別式大于0得到m＞

3

2

．構造函數(shù)g（x）=f（x）-mx²+（

3

2

mx-3m²）x，當0≤x≤4m時，f（x）＜mx²+（

3

2

mx-3m²）x+36恒成立等價于[g（x）]_max＜36成立，由導數(shù)求出g（x）的最大值，代入[g（x）]_max＜36求解m的范圍，與m＞

3

2

取交集得答案．

解答： 解：（1）當m=2時，f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，
則f'（x）=x²-4x+3，
①令f'（x）=x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，
當x∈（-∞，1），（3，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈（1，3）時，f′（x）＜0．
∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間是：（-∞，1），（3，+∞）．
函數(shù)的單調遞減區(qū)間是：（1，3）；
②∵f′（x）=x²-4x+3，
∴f′（0）=0，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點（0，0）處的切線方程為y=3x；
（2）∵函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，
則f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=0有兩個不同的根，
則有△=4m²-6m＞0，
又m＞0，
∴m＞

3

2

．
令g(x)=f(x)-mx2-(

3

2

m-3m2)x=

1

3

x3-2mx2+3m2x，
依題意：[g（x）]_max＜36即可．
由g'（x）=x²-4mx+3m²=0，解得x=m，或x=3m，
∴g'（x）＞0⇒x＜m或x＞3m，
g'（x）＜0⇒m＜x＜3m，
∴g（x）在[0，m），（3m，4m]上為增函數(shù)，在（m，3m）上為減函數(shù)，
∴g(m)=

4

3

m3，g（3m）=0為g（x）的極值，
又g(0)=0，g(4m)=

4

3

m3，
∴g（x）最大值為

4

3

m3，
∴

4

3

m3＜36，解得m＜3．
∴m的取值范圍為

3

2

＜m＜3．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，訓練了利用構造函數(shù)法證明不等式恒成立問題，是高考試卷中的壓軸題．