Question

已知向量

m

=（2sinθ，sinθ+cosθ），

n

=（cosθ，-2-m），函數(shù)f（θ）=

m

•

n

的最小值為g（m）（m∈R）
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求g（m）的值；
（2）求g（m）；
（3）已知函數(shù)h（x）為定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)任意的x₁，x₂都滿(mǎn)足h（x₁+x₂）=h（x₁）+h（x₂）問(wèn)：是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使不等式h（f（θ））-h（

4

sinθ+cosθ

）+h（3+2m）＞0對(duì)所有θ∈[0，

π

2

]恒成立，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）把m=1，代入相應(yīng)的向量坐標(biāo)表示式，然后，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式即可；
（2）轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問(wèn)題，對(duì)對(duì)稱(chēng)軸的位置與區(qū)間[-

2

，

2

]進(jìn)行討論；
（3）利用函數(shù)h（x）為R上的奇函數(shù)，得到h[sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

]＞h（-3-2m），然后，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化成sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m，最后，利用換元法t=sinθ+cosθ，轉(zhuǎn)化成m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

，求解函數(shù)g（t）在[1，

2

]的最大值為3，從而解決問(wèn)題．

解答： 解：（1）∵f（θ）=sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ），
令t=sinθ+cosθ，t∈[-

2

，

2

]，
∴sin2θ=t²-1，
當(dāng)m=1時(shí)，g（m）=（t²-3t-1）_min=1-3

3

．
（2）f（θ）=F（t）=t²-（m+2）t-1，t∈[-

2

，

2

]，
∴g（m）=

(m+2) 2 +1，m≤-2 2 -2 - m2+4m+8 4  ，-2 2 -2＜m＜2 2 -2 1-(m+2) 2   ，m≥2 2 -2

，
（3）易證明函數(shù)h（x）為R上的奇函數(shù)，
使不等式h（f（θ））-h（

4

sinθ+cosθ

）+h（3+2m）＞0對(duì)所有θ∈[0，

π

2

]恒成立，
∴只需使不等式h[sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

]+h（3+2m）＞0對(duì)所有θ∈[0，

π

2

]恒成立，
∴h[sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

]＞-h（3+2m）=h（-3-2m），
∵函數(shù)h（x）為定義在R上的增函數(shù)，
∴sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m，
令t=sinθ+cosθ，
∴sin2θ=t²-1，
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴t∈[1，

2

]，
∴原命題等價(jià)于t²-1-（m+2）t-

4

t

+3+2m＞0對(duì)t∈[1，

2

]恒成立，
∴（2-t）m＞2t-t²+

4

t

-2，
∴m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

，
由對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得：
g（t）在[1，

2

]為減函數(shù)，
∴g（t）的最大值為3，
∴m＞3時(shí)，原命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的公式、三角恒等變換公式、二次函數(shù)最值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，對(duì)于恒成立問(wèn)題，一般思路是分離參數(shù)法，本題屬于難題．