Question

已知等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}，a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．
（I）求a_n、b_n；
（Ⅱ）對于?n∈N^*，試比較a_n、b_n的大小并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列定義求出d，q，得出通項公式a_n=2n，b_n=2ⁿ即可
（Ⅱ）直接作差或作商不易比較，考慮到與自然數(shù)n有關(guān)，可先比較幾組，進(jìn)行大小關(guān)系的猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（I）∵a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．∴等差數(shù)列{a_n}的公差d=2，等比數(shù)列{b_n}的公比q=2
所以a_n=2+（n-1）×2=2n，b_n=2×2^n-1=2ⁿ
（Ⅱ）由已知，
當(dāng)n=1，2時，a_n=b_n，
當(dāng)n=3時，a₃=6，b=8，a_n＜b_n
當(dāng)n=4時，a₃=8，b=16，a_n＜b_n
當(dāng)n=5時，a₃=10，b=25，a_n＜b_n
猜測當(dāng)n≥3時，a_n＜b_n
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)n=3時，a₃=6，b=8，a_n＜b_n成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時成立，即2k＜2^k，
則當(dāng)n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2•2k=2k+2k＞2k+2=2（k+1），即a_n+1＜b_n+1，所以當(dāng)n=k+1時也成立
由（1）（2）可知當(dāng)n≥3時，a_n＜b_n都成立．

點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若（1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．