Question

橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)的面積為時(shí)，求直線的方程.

 

Answer 1

（1）；（2）直線方程為：或.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問題、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，由于橢圓過點(diǎn)A，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入得到a和b的關(guān)系式，再利用橢圓的離心率得到a與c的關(guān)系式，從而求出a和b，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，過的直線有特殊情況，即當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，先討論，再討論斜率不不為的情況，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到和，代入到三角形面積公式中，解出k的值，從而得到直線方程.

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以①，又因?yàn)殡x心率為，所以，所以②，解①②得.

所以橢圓的方程為： （4分）

（2）①當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，,

，不適合題意。 （6分）

②當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程，

代入得： （7分）

設(shè)，則,,

，

所以直線方程為：或 （12分）

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問題、三角形面積公式.