Question

設(shè)z₁，z₂∈C．
（1）求證：|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2|z₁|²+2|z₂|²；
（2）設(shè)|z₁|=3，|z₂|=5，|z₁+z₂|=6，求|z₁-z₂|．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）左邊=(z1+z2)(

.

z1

+

.

z2

)+(z1-z2)(

.

z1

-

.

z2

)，展開即可證明；
（2）由（1）的結(jié)論可得：|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2|z₁|²+2|z₂|²；代入即可得出．

解答： （1）證明：左邊=(z1+z2)(

.

z1

+

.

z2

)+(z1-z2)(

.

z1

-

.

z2

)=2z1

.

z1

+2z2

.

z2

=2|z1|2+2|z2|2=右邊，∴左邊=右邊；
（2）解：由（1）的結(jié)論可得：|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2|z₁|²+2|z₂|²；
∴62+|z1-z2|2=2（3²+5²），
∴|z₁-z₂|=4

2

．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．