Question

如圖在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，M，N分別是A₁B和B₁C₁的中點．
（1）求證：BC∥平面MNB₁；
（2）當(dāng)AC=AA₁時，求證：平面MNB₁⊥平面A1CB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直三棱柱的幾何特征，易得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，然后由線面平行的判定定理得到BC∥平面MNB₁；
（2）連接AC₁，由AC=AA₁，得四邊形ACC₁A₁是正方形，結(jié)合，∠ACB=90°，M，N分別是A₁B和B₁C₁的中點．我們易得BC⊥平面ACC₁A₁，連接AB₁，則A₁B與AB₁的交點即為AB₁的中點M，故MN∥AC₁，由線面垂直的判定定理得到MN⊥平面A₁BC，再由面面垂直的判定定理得到平面MNB₁⊥平面A₁CB．
解答：證明：∵BC∥B₁C₁，且B₁C₁?平面MNB₁，BC?平面MNB₁，
∴BC∥平面MNB₁；
（2）連接AC₁，由AC=AA₁，得四邊形ACC₁A₁是正方形
∴AC₁⊥A₁C，
直三棱柱中CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
又BC⊥AC
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁．
∵A₁C∩BC=C
∴AC₁⊥平面A₁BC
連接AB₁，則A₁B與AB₁的交點即為AB₁的中點M，
又∵N是B₁C₁的中點，
∴MN∥AC₁，
∴MN⊥平面A₁BC且MN?B₁MN
∴平面MNB₁⊥平面A₁CB．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握直三棱柱的幾何特征，熟練掌握空間直線與平面之間位置的判定、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．