Question

9．在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將菱形沿對角線AC折起，使折起后BD=1，則二面角B-AC-D的平面角的余弦值$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OB，OD，則∠BOD為所求二面角的平面角，求出OB，OD，在△OBD中使用余弦定理求出cos∠BOD．

解答 解：設(shè)菱形中心為O，連接OB，OD，
∵AB=BC=CD=AD=1，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD是正三角形，
∵O是AC的中點(diǎn)，∴OB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
OB⊥AC，OD⊥AC，
∴∠BOD為二面角B-AC-D的平面角．
在△OBD中，由余弦定理得cos∠BOD=$\frac{O{B}^{2}+O{D}^{2}-B{D}^{2}}{2OB•OD}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了二面角的定義與計(jì)算，作出二面角的平面角是關(guān)鍵，屬于中檔題．