Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），λ是常數(shù)．
（1）當(dāng)a₂=-1時(shí)，求λ及a₃的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列？若存在，求出λ及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用a₂的值列出關(guān)于λ的方程，進(jìn)而求出λ的值，再根據(jù)a₂的值計(jì)算出a₃的值；
（2）通過假設(shè)數(shù)列{a_n}可能為等差數(shù)列，利用該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列得出關(guān)于λ的方程，進(jìn)而確定出λ的值，驗(yàn)證數(shù)列后面的項(xiàng)是否滿足等差數(shù)列即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），且a₁=1，
∴當(dāng)a₂=-1時(shí)，得-1=2-λ，即λ=3，
∴a₃=（2²+2-3）×（-1）=-3．
（2）結(jié)論：不存在實(shí)數(shù)λ使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
理由如下：
∵a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n，
∴a₂=2-λ，a₃=（6-λ）（2-λ），a₄=（12-λ）（6-λ）（2-λ）．
假設(shè)存在λ使{a_n}為等差數(shù)列，則a₃-a₂=a₂-a₁，
即（5-λ）（2-λ）=1-λ，解得λ=3．
于是a₂-a₁=1-λ=-2，
a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．
這與{a_n}為等差數(shù)列矛盾．
綜上，對任意λ數(shù)列{a_n}都不可能是等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系確定數(shù)列的問題，考查數(shù)列為等差數(shù)列的判定方法、探究性問題的解決思路，考查學(xué)生解決問題的方程思想、確定一個(gè)命題為假命題的方法，關(guān)鍵要進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．