Question

設函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x-1，二次函數(shù)g（x）=ax²-x-1，其中常數(shù)a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a-2，a）內(nèi)均為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個公共點且g（x）存在最大值時，記g（x）的最大值為h（a），求函數(shù)h（a）的解析式．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意得：a≠0，f′（x）=3（x-

a

3

）（x+a），g′（x）=2ax-1，討論 ①當a＞0時，②當a＜0時的情況從而得出a的范圍；
（2）由題意得a＜0，由f（x）=g（x）得x（x²-a²+1）=0，即x=0，或x²=a²-1函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個公共點，從而-1≤a＜0．又g（x）=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

-1，當x=

1

2a

時，g（x）有最大值-

1

4a

-1，進而求出h（a）=-

1

4a

-1，（-1≤a＜0）．

解答： 解：（1）由題意得：a≠0，f′（x）=3（x-

a

3

）（x+a），
g′（x）=2ax-1，
 ①當a＞0時，
f′（x）＞0?x＞

a

3

，或x＜-a，
函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-a）、（

a

3

，+∞）．
g′（x）＞0?x＞

1

2a

，
函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（

1

2a

，+∞）．
∵函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a-2，a）內(nèi)均為增函數(shù)，
∴

a＞0 a-2≥ a 3 a-2≥ 1 2a

，解得：a≥3．
②當a＜0時，f′（x）＞0?x＜

a

3

，或x＞-a，
函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，

a

3

）、（-a，+∞）．
g′（x）＞0?x＜

1

2a

，
∴函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（-∞，

1

2a

）．
∵函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a-2，a）內(nèi)均為增函數(shù)函數(shù)，
∴

a＜0 a≤ a 3 a≤ 1 2a

，解得：a≤-

2

2

．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

2

2

]∪[3，+∞）．
（2）∵二次函數(shù)g（x）=ax²-x-1有最大值，
∴a＜0，
由f（x）=g（x）得x（x²-a²+1）=0，即x=0，或x²=a²-1
∵函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個公共點，
∴a²-1≤0，
又a＜0，
∴-1≤a＜0． 　　                
又g（x）=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

-1，
當x=

1

2a

時，g（x）有最大值-

1

4a

-1，
∴h（a）=-

1

4a

-1，（-1≤a＜0）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．