Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，公差d=2，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且b₁=1，a₃+b₅=21．
（1）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){b_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，聯(lián)立方程求得d和q，進(jìn)而可得{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù){a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，公差d=2，求{a_n}的通項(xiàng)公式，數(shù)列{

an

bn

}的通項(xiàng)公式由等差和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而可用錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）設(shè){b_n}的公比為q，則依題意有q＞0且

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

解得d=2，q=2．
∴b_n=q^n-1=2^n-1．
（2）∵{a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，公差d=2，∴a_n=1+（n-1）d=2n-1，

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴S_n=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，①
2S_n=2+3+

5

2

+…+

2n-1

2n-2

，②
②-①得S_n=2+2+

2

2

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-2

=6-

2n+3

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用基本量表示等差數(shù)列及等 數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求數(shù)列的和是數(shù)列求和方法中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．