Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為邊長為的正方形， ， 分別為， 的中點.

（1）求證： 平面；

（2）若， 平面，求直線與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)的中點為，連接， ，根據(jù)三角形中位線定理可得，進而得四邊形為平行四邊形，從而，由線面平行的判定定理可得 平面；（2）由（1）知， ，因為平面，可得平面， ，可證明平面， ， ， 兩兩垂直，以為坐標原點，向量， ， 的方向為軸， 軸， 軸的正方形建立如圖所示的空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)的中點為，連接， ，

則，而

∴∴四邊形為平行四邊形.

∴，而平面， 平面

∴平面；

（2）由（1）知， ，因為平面

所以平面，而， 平面

∴

∵， ，

∴平面， 平面

∴，而， ，所以平面

（注意：沒有證明出平面，直接運用這一結(jié)論的，后續(xù)過程不給分）

由題意， ， ， 兩兩垂直，以為坐標原點，向量， ， 的方向為軸， 軸， 軸的正方形建立如圖所示的空間直角坐標系

在三角形中平面，而平面，知，而的中點為知，則， ， ， ，

， ， 為平面的一個法向量.

設(shè)直線與平面所成角為，

所以直線與平面所成角為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.