Question

6．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）離心率為$\sqrt{3}$，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線右支上一點，∠F₁PF₂的平分線為l，點F₁關(guān)于l的對稱點為Q，|F₂Q|=2，則雙曲線方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1

Answer 1

分析 由題意可得直線l為F₁Q的垂直平分線，且Q在PF₂的延長線上，可得|PF₁|=|PQ|=|PF₂|+|F₂Q|，由雙曲線定義可得a=1，再由離心率公式可得c，由a，b，c的關(guān)系，可得b的值，進而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：由∠F₁PF₂的平分線為l，點F₁關(guān)于l的對稱點為Q，
可得直線l為F₁Q的垂直平分線，且Q在PF₂的延長線上，
可得|PF₁|=|PQ|=|PF₂|+|F₂Q|，
即|PF₁|-|PF₂|=|F₂Q|，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|F₂Q|=2，可得a=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，可得c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
則雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用雙曲線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)，考查雙曲線的基本量的關(guān)系，以及運算能力，屬于中檔題．