Question

（2007•奉賢區(qū)一模）已知函數(shù) f（x）=log₃（3^x-1），
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求證函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）若f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)，設F（x）=f^-1（2x）-f（x），求函數(shù)F（x）的最小值及對應的x值．

Answer 1

分析：（1）利用真數(shù)大于0，結合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求；
（2）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位．
（3）先求反函數(shù)，再表達出F（x）=f^-1（2x）-f（x），利用基本不等式可求函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）函數(shù) f（x）=log₃（3^x-1），得：3^x-1＞0，∴x＞0
∴f（x）的定義域 是（0，+∞）．
（2）設在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=log3

3x2-1

3x1-1

由y=3^x在定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增得：

3x2-1

3x1-1

＞ 1，∴log3

3x2-1

3x1-1

＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增（3分）
（3）由 f（x）=log₃（3^x-1），得：f^-1（x）=log₃（3^x+1），∴F（x）=f^-1（2x）-f（x）=log3

32x+1

3x-1

log3(3x-1+

2

3x-1

+2)≥log3(2

2

 +2)
當x=log3(

2

+1)時，F(xiàn)（x）最小值為log3(2

2

+2)

點評：本題的考點是函數(shù)的單調(diào)性德判斷及證明，主要考查了反函數(shù)、函數(shù)的值域以及函數(shù)與不等式相綜合的問題，考查函數(shù)與方程的綜合運用，主要涉及了用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及構造函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等問題，還考查了轉(zhuǎn)化思想和構造轉(zhuǎn)化函數(shù)的能力．