Question

【題目】設(shè)f（x）是定義在（﹣1，+∞）內(nèi)的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y）若f（3）=1且f（a）＞f（a﹣1）+2
求：
（1）f（9）的值，
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定義在（﹣1，+∞）內(nèi)的增函數(shù)，f（3）=1，函數(shù)滿足f（xy）=f（x）+f（y），

令x=y=3，f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=1+1=2．

即f（9）=2

（2）解：由（1）可得f（9）=2，

則f（a）＞f（a﹣1）+2轉(zhuǎn)化為f（a）＞f（a﹣1）+f（9），

∴f（a）＞f（9a﹣9），

又∵f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，

∴ ，

∴ ．

故得a的取值范圍是（0， ）

【解析】（1）利用f（3）=1，函數(shù)滿足f（xy）=f（x）+f（y），賦值法求解即可．（2）將f（3）=1轉(zhuǎn)化為f（9），根據(jù)定義域和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式求解．