Question

如圖四棱錐S-ABCD，底面ABCD是正方形，SD⊥底面ABCD，M為SC的中點(diǎn)．
（1）求證：SA∥平面MBD
（2）證明：平面SAC⊥平面SBD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，由三角形中位線定理得OM∥SA，由此能證明SA∥平面MBD．
（2）由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得AC⊥SD，從而得到AC⊥面SBD，由此能證明平面SAC⊥平面SBD．

解答： 證明：（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，
∵ABCD是正方形，∴O是AC中點(diǎn)，
∵M(jìn)是SC中點(diǎn)，∴OM∥SA，
∵OM?面MBD，SA不包含于面MBD，
∴SA∥平面MBD．
（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，
∵BD、SD是面SBD內(nèi)兩相交線，
∴AC⊥面SBD，
又∵AC?面SAC，
∴平面SAC⊥平面SBD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．