Question

3．數(shù)列{a_n}滿足a₁=k，k∈N^*，a₂為k+1，k+2，k+3…中劃去k的倍數(shù)后，剩下數(shù)中的最小數(shù)，a₃是將剩下數(shù)中再把a₂倍數(shù)劃去后，剩下數(shù)中的最小數(shù)，依次確定后面的項，若2012是數(shù)列中某項，則k的最小值為1007．

Answer 1

分析 通過2012=2×2×503可知k≠1006且k≠503，利用503是一個質數(shù)可知k＞503，利用已知數(shù)列的定義可知當503＜k＜1006時不滿足條件，進而分析可知當k＞1006時滿足條件，從而可得結論．

解答 解：∵2012=2×2×503，
∴k≠1006且k≠503（否則2012不是數(shù)列中某項），
又∵503是一個質數(shù)，
∴當k＜503時，數(shù)列{a_n}中一定存在某一項的值為503，
∴k的最小值必須大于503，
∵當503＜k＜1006時，1005＜1006＜2k，
∴數(shù)列{a_n}中一定存在某一項的值為1005，
∴2012不是數(shù)列中的項，矛盾，從而k＞1006，
∵2×1007=2014，
∴當k＞1006時，k，k+1，k+2，k+3，…，2k-1都是數(shù)列{a_n}中的項，
且2012=2×1006＜2k-1，
∴k的最小值為1007，
故答案為：1007．

點評 本題考查是一道關于數(shù)列的綜合題，考查分析問題、解決問題的能力，題目新穎，難度較大，注意解題方法的積累，屬于難題．