Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)為AA₁的中點(diǎn)．求證：
（1）A₁C∥平面FBD；
（2）平面FBD⊥平面DC₁B．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；
（2）如圖所示，連接OC₁．C₁F．利用勾股定理可得FO⊥OC₁．由正方體可得BD⊥平面ACC₁A₁，可得BD⊥FO．再利用線面、面面垂直的判定定理即可證明．

解答：證明：（1）連接AC，設(shè)AC∩BD=O．
∵F為AA₁的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，
∴FO∥AC．
∵FO?平面BFO，A₁C?平面BFO．
∴A₁C∥平面BFO．
（2）如圖所示，連接OC₁．C₁F．
不妨設(shè)AB=2，利用勾股定理可得
FO²=OA2+AF2=(

2

)2+1=3，OC12=OC2+CC12=(

2

)2+2²=6，FC12=FA12+A1

C

2 1

=12+(2

2

)2=9，
∴FO2+O

C

2 1

=A1

C

2 1

，∴FO⊥OC₁．
由正方體可得BD⊥平面ACC₁A₁，∴BD⊥FO．
∵OC₁∩BD=O，∴FO⊥平面BC₁D，
∵FO?平面BDF，∴平面FBD⊥平面DC₁B．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、勾股定理可、正方體的性質(zhì)、線面與面面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．