Question

在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，AB=AD=2，AC=4，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點(diǎn)．
（1）求直線CD與平面CEF所成角的正弦值；
（2）設(shè)點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，滿足DM⊥平面CEF，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求出面CEF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線CD與平面CEF所成角的正弦值；
（2）因?yàn)镈M⊥平面CEF，所以

DM

∥

n

，從而可求M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（1，0，1），

CE

=（0，-4，1），

CF

=（1，-4，1）．
設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z）．則

n

•

CE

=0，即-4y+z=0，

n

•

CF

=0，x-4y+z=0．
所以x=0，z=4y．
取y=1，則z=4，所以

n

=（0，1，4）．
設(shè)直線CD與平面CEF所成角為θ，
又

CD

=（0，-4，2），則sinθ=|cos＜

CD

，

n

＞|=

|-4+8|

20 × 17

=

2 85

85

．
所以直線CD與平面CEF所成角的正弦值為

2 85

85

．
（2）設(shè)M（x，y，0），則

DM

=（x，y，-2）．
因?yàn)镈M⊥平面CEF，所以

DM

∥

n

，所以x=0，

y

1

=

-2

4

，即y=-

1

2

．
所以M（0，-

1

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角，考查線面垂直，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．