Question

20．如圖，已知矩形ABCD，AD=2，E為AB邊上的點，現(xiàn)將△ADE沿DE翻折至△ADE，使得點A'在平面EBCD上的投影在CD上，且直線A'D與平面EBCD所成角為30°，則線段AE的長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 過A′作A′F⊥平面ABCD，垂足為F，連結(jié)EF，過F作FM⊥AB，垂足為M，設(shè)AE=A′E=x，分別在△MEF和△A′EF中用勾股定理表示出EF，列方程解出x．

解答 解：過A′作A′F⊥平面ABCD，垂足為F，連結(jié)EF．
則F在CD上，且∠A′DF=30°，
∵AD=A′D=2，∴DF=$\sqrt{3}$，A′F=1，
過F作FM⊥AB，垂足為M，則AM=DF=$\sqrt{3}$，
設(shè)AE=x，則ME=x-$\sqrt{3}$，A′E=x，
∵EF²=MF²+ME²=A′E²-A′F²，
∴4+（x-$\sqrt{3}$）²=x²-1，解得x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了線面角的判斷，空間距離的計算，屬于中檔題．