Question

設S_n是公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a₁=1，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的前n項和公式和等比數(shù)列的性質求出公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能求出數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和．

解答： 解：（1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
∴S22=S1•S4，即(2+d)2=4+6d，
解得d=2或d=0（舍）
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點評：本題是數(shù)列的基礎題目，主要考查了等差數(shù)列通項公式的求法以及裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．