【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的上、下、左、右四個頂點分別為A,B,C,D,x軸正半軸上的點P滿足|PA|=|PD|=2,|PC|=4。

(I)求橢圓C的標準方程以及點P的坐標;

(II)過點P作直線l交橢圓C于點M,N,是否存在這樣的直線l使得MNAMND的面積相等?若存在,請求出直線l的方程,若不存在,請說明理由;

(III)在(II)的條件下,求當直線l的傾斜角為鈍角時MND的面積。

【答案】(1),P點坐標為(1,0).(2)y=(x-1)或y=(x-1).(3)

【解析】

試題(1)設點P的坐標,表示條件,解方程組可得a=3,x0=1b=.(2)先將條件轉(zhuǎn)化為點A,D到直線l的距離相等. 再根據(jù)點到直線距離公式解直線斜率,即得直線l的方程,(3)將直線方程代人橢圓方程,利用韋達定理以及弦長公式求底邊邊長,再根據(jù)點到直線距離公式求高,最后代人面積公式求面積.

試題解析:解:(I)設點P的坐標為(x0,0)(x0>0),易知2a=2+4,a=3,

x0=4-a=1,b=.

因此橢圓標準方程為,P點坐標為(1,0).

(II)設直線l:y=k(x-1).

MNAMND的面積相等,則點A,D到直線l的距離相等.

所以,解得k=k=.

所以直線l的方程為y=(x-1)或y=(x-1).

Ⅲ)若直線l傾斜角為鈍角,即k=,此時方程為y=(x-1).

與橢圓方程聯(lián)立x。

M,N坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

則有y1+y2=,y1y2=.

所以MND的面積

S=|PD|·|y1-y2|=×2×=。

故所求MND的面積為.

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