Question

已知橢圓的兩個焦點(diǎn)和上下兩個頂點(diǎn)是一個邊長為2且∠F₁B₁F₂為的菱形的四個頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點(diǎn)F₂ ，斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線、分別交直線于點(diǎn)、，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為.求證:為定值.

 

Answer 1

【答案】

(1)；（2）為定值.

【解析】

試題分析：(1)由橢圓兩個焦點(diǎn)和上下兩個頂點(diǎn)是一個邊長為2且∠F₁B₁F₂為的菱形的四個頂點(diǎn)可得，從而得到橢圓方程.（2）通過題目條件，將直線方程設(shè)出來，再將它與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來，即點(diǎn)，點(diǎn)，再分別表示出直線、的方程，令，得到點(diǎn),，的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，利用斜率公式即得到，通過聯(lián)立直線與橢圓方程，用韋達(dá)定理替換，，化簡之后即可證明為定值.本題利用“設(shè)而不求”達(dá)到證明的目的，充分利用韋達(dá)定理消去繁雜的未知數(shù).這是解決帶有直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題的常用的手段.

試題解析：(1)由條件知，    2分

故所求橢圓方程為.    4分

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

將直線方程代入橢圓：，

整理得：，    6分

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，且

    8分

直線的方程為：，直線的方程為：，令，

得點(diǎn)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo).    9分

直線的斜率為.

.    11分

將代入上式得：

.

所以為定值.    14分

考點(diǎn)：1.橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.斜率公式及直線方程.