已知向量
a
=(sinωx，sinωx)，
b
=(sinωx，
3
coxωx)，其中ω＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=2
a
•
b
，已知f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=log2f（x），求g（x）的定義域和單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）證明：直線x=
5π
6
是g（x）圖象的一條對稱軸．
（1）f(x)=2(sin2ωx+
3
sinωx•cosωx)=1-cos2ωx+
3
sin2ωx=2(sin2ωx•
3
2
-cos2ωx•
1
2
)+1=2sin(2ωx-
π
6
)+1
∵ω＞0，
∴T=
2π
2ω
=
π
ω
=π，
∴ω=1，
∴f(x)=2sin(2x-
π
6
)+1
（2）g(x)=log2[2sin(2x-
π
6
)+1]，
由2sin(2x-
π
6
)+1＞0得：sin(2x-
π
6
)＞-
1
2
，
∴2kπ-
π
6
＜2x-
π
6
＜
7π
6
+2kπ
∴kπ＜x＜kπ+
2π
3
(k∈Z)，
即g（x）的定義域為(kπ，kπ+
2π
3
)(k∈Z)
∴2kπ-
π
6
＜2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
?kπ＜x≤kπ+
π
3
，
故增區(qū)間為(kπ，kπ+
π
3
](k∈Z)．
（3）設(shè)
5π
6
+x在g（x）的定義域中，則對一切k∈Z，有kπ＜
5π
6
+x＜kπ+
2π
3
，
∴-kπ-
2π
3
＜-
5π
6
-x＜-kπ
∴(-k+1)π＜
5π
6
-x＜(-k+1)π+
2π
3
(k∈Z)
∴點
5π
6
-x也在g（x）的定義域中．
又 g(
5π
6
+x)=log2(-2cos2x+1)，g(
5π
6
-x)=log2(-2cos2x+1)
∴g(
5π
6
+x)=g(
5π
6
-x)，故g（x）的圖象關(guān)于直線x=
5π
6
對稱．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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