Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=（ax2-2x）ex，其中a≥0．

（1）當a=時，求f（x）的極值點；

（2）若f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）0≤a≤

【解析】

試題求出導(dǎo)數(shù)，得到單調(diào)性求出極值，在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即，所以0＜a≤。

試題解析：對f（x）求導(dǎo)得f'（x）=[ax2+2（a-1）x-2]ex①

（Ⅰ）若a=時，由f′(x)=0，得2x2+x-3=0，解得x1=-，x2=1，綜合①，可知

x	(-∞，-)	-	(-，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，x1=-是極大值點，x2=1是極小值點．（注：未注明極大、極小值扣1分）

（Ⅱ）若f（x）為[-1，1]上的單調(diào)函數(shù)，又f'（0）=-2＜0，

所以當x∈[-1，1]時f'（x）≤0，即g（x）=ax2+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．

（1）當a=0時，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立；

（2）當a＞0時，拋物線g（x）=ax2+2（a-1）x-2開口向上，

則f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即，所以0＜a≤．

綜合（1）（2）知a的取值范圍是0≤a≤．