Question

已知曲線C的極坐標方程是ρ=2

5

sinθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．
（1）寫出曲線C的普通方程，并說明它表示什么曲線；
（2）過點P（3，

5

）作傾斜角為α=

3π

4

的直線L與曲線C相交于A，B兩點，求線段AB的長度和|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,點的極坐標和直角坐標的互化

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）根據極坐標和角坐標的互化公式把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，從而得出結論．
（2）設直線l的參數方程是

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t是參數），代人曲線C的方程，化簡并利用韋達定理、參數的幾何意義求得線段AB的長度和|PA|•|PB|的值．

解答： 解：（1）曲線C的極坐標方程是ρ=2

5

sinθ，化為直角坐標方程為x2 +(y-

5

)2=5，
它是以(0，

5

)為圓心，半徑為

5

的圓．
（2）設直線l的參數方程是

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t是參數），
代人x2+y2-2

5

y=0，得t2-3

2

t+4=0．
∵t1+t2=3

2

，t₁•t₂=4，
∴|AB|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

2

，|PA|•|PB|=4．

點評：本題主要考查把極坐標方程、參數方程化為直角坐標返程的方法，韋達定理、參數的幾何意義，屬于基礎題．