Question

某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷售量也相應(yīng)增加．已知年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．
（1）若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．可設(shè)年利潤為y，從而可以構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用二次函數(shù)求最值的方法可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，設(shè)年利潤為y，則有
y=[13（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000（1+0.4x）=5000（-0.36x²+0.3x+3），（0＜x＜1）…（6分）
由5000（-0.36x²+0.3x+3）＞3×5000，得0＜x＜

5

6

          …（9分）
（2）本年度利潤為y=5000（-0.36x²+0.3x+3）…（11分）
當(dāng)x=

5

12

時，y有最大值為15312.5（萬元）     …（13分）
答：（1）投入成本增加的比例x的范圍是0＜x＜

5

6

；（2）當(dāng)x=

5

12

時，本年度的年利潤最大，是15312.5萬元．  …（15分）

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查二次函數(shù)模型的構(gòu)建，關(guān)鍵是利用年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．