Question

14．已知函數(shù)f（x）=e${\;}^{\frac{x}{a}}$（x²-3ax+a²））（a＞0）
（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是否存在最小值，若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知，函數(shù)在x=2a處取得極小值，函數(shù)無最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=e${\;}^{\frac{x}{a}}$（x²-3ax+a²），
∴f′（x）=$\frac{1}{a}$•e${\;}^{\frac{x}{a}}$（x+a）（x-2a）
∵a＞0，
∴令f′（x）＞0，可得x＜-a或x＞2a；f′（x）＜0，可得-a＜x＜2a，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-a），（2a，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-a，2a）；
（2）由（1）可知，函數(shù)在x=2a處取得極小值，函數(shù)無最小值．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分析問題能力，屬于中檔題．