已知,動點P滿足|PF1|+|PF2|=4,記動點P的軌跡為E.
(1)求E的方程;
(2)曲線E的一條切線為l,過F1,F(xiàn)2作l的垂線,垂足分別為M,N,求|F1M|•|F2N|的值;
(3)曲線E的一條切線為l,與x軸分別交于A,B兩點,求|AB|的最小值,并求此時切線的斜率.
【答案】分析:(1)由題意可知P點軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,,由此能求出E的方程.
(2)當切線斜率不存在時,切線為x=±2,此時|F1M|•|F2N|=1.當切線斜率存在時,設切線方程為y=kx+b,則由題意可知,,所以|F1M|•|F2N|=1.
(3)由(2)知,,由此可求出AB的最小值為3,此時斜率為
解答:解:(1)∵
又∵
∴P點軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,
故橢圓方程為
(2)①當切線斜率不存在時,切線為x=±2,此時|F1M|•|F2N|=1.
②當切線斜率存在時,設切線方程為y=kx+b,(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0
△=(8kb)2-4(1+4k2)(4b2-4)=0,
∴b2=4k2,,,
綜上所述,|F1M|•|F2N|=1.
(3)由(2)知,,
當且僅當,即時取等號
故AB2的最小值為3,此時斜率為
點評:本題綜合考查直線和橢圓的位置關系,解題時要注意均值不等式的合理運用.
練習冊系列答案
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已知平面上兩定點M(0,-2)、N(0,2),P為一動點,滿足
.
MP
-
.
MN
=|
.
PN
|-|
.
MN
|.
(I)求動點P的軌跡C的方程;
(II)若A、B是軌跡C上的兩不同動點,且
.
AN
.
NB
.分別以A、B為切點作軌跡C的切
線,設其交點Q,證明
.
NQ
-
.
AB
為定值.

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PA
PB
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;
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43
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