Question

7．已知函數(shù)$f（x）=asin（2x-\frac{π}{3}）$，且$f（\frac{π}{2}）=\sqrt{3}$
（1）求函數(shù)f（x）的最大值以及取得最大值時相應(yīng)的自變量x的值；
（2）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$列方程解出a即可得出f（x）的最大值，令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ得出x的值；
（2）利用周期公式計(jì)算周期T，令2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}+2kπ$，$\frac{3π}{2}$+2kπ]解出f（x）的減區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=asin（2x-\frac{π}{3}）$，且$f（\frac{π}{2}）=\sqrt{3}$，
∴$f（\frac{π}{2}）=asin\frac{2π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\sqrt{3}$，∴a=2，
∴函數(shù) $f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∴函數(shù)$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$有最大值2，
此時，$2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，即 $x=kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$，
（2）函數(shù)$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
令$2x-\frac{π}{3}∈[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]（k∈Z）$得，$x∈[kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{11π}{12}]（k∈Z）$，
即y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{11π}{12}]（k∈Z）$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．