Question

5．已知函數(shù)f（n）對任意的m，n∈N^*，都有f（m+n）=f（m）+f（n）+2（m+n）+1，且f（1）=1
（1）若n∈N^*，試求f（n）的表達(dá)式；
（2）若對于n∈N^*且n≥2時，不等式f（n）≥（a+7）n-（a+10）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令m=1得到關(guān)于f（n）的遞推關(guān)系，利用累加法即可求f（n）的表達(dá)式；
（2）利用參數(shù)分離法將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）+2（m+n）+1，且f（1）=1，
∴令m=1，
則f（n+1）=f（1）+f（n）+2（1+n）+1=f（n）+2n+4，
即f（n+1）-f（n）=2n+4，
則f（2）-f（1）=6，
f（3）-f（2）=8，
…
f（n）-f（n-1）=2（n-1）+4=2n+2，
等式兩邊同時相加得f（n）-f（1）=6+8+…+（2n+2）=$\frac{（6+2n+2）（n-1）}{2}$=n²+n-2，
則f（n）=n²+n-2+f（1）=n²+n-2+1=n²+n-1．
（2）對于n∈N^*且n≥2時，不等式f（n）≥（a+7）n-（a+10）恒成立，
則等價為對于n∈N^*且n≥2時，不等式n²+n-1≥（a+7）n-（a+10）恒成立，
即n²+n-1≥na+7n-a-10．
即n²-6n+9≥（n-1）a．在n≥2恒成立，
即a≤$\frac{{n}^{2}-6n+9}{n-1}$，
設(shè)g（n）=$\frac{{n}^{2}-6n+9}{n-1}$=$\frac{（n-1）^{2}+8（n-1）+16}{n-1}$=（n-1）+$\frac{16}{n-1}$+8，
∵n≥2，∴n-1≥1，
則（n-1）+$\frac{16}{n-1}$$≥2\sqrt{（n-1）•\frac{16}{n-1}}$=$2\sqrt{16}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)n-1=$\frac{16}{n-1}$，即（n-1）²=16，n=5或n=-3（舍）取等號，
則g（n）=（n-1）+$\frac{16}{n-1}$+8≥8+8=16，
則a≤16．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．利用參數(shù)分離法結(jié)合基本不等式是求出恒成立問題的基本方法．