精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，其中∠ADC=60°，側(cè)面PAD丄底面ABCD，且PA=PD=3，E是PD的中點(diǎn)
（I）求證：直線(xiàn)PB∥平面ACE
（II）求：二面角E-AC-D的大�。�
分析：（I） 設(shè)AC和BD的交點(diǎn)為O，可得OE是三角形DPB的中位線(xiàn)，OE∥PB，從而證得直線(xiàn)PB∥平面ACE．
 （II）在平面PAD內(nèi)，作EM⊥AD，作MN⊥AC，可證∠MNE即為二面角E-AC-D的平面角，求出EM和MN，可求
tan∠MNE，從的得到二面角E-AC-D的大小．
解答：解：（I）證明：設(shè)AC和BD的交點(diǎn)為O，由菱形的性質(zhì)可得，O為BD的中點(diǎn)，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，故OE是三角形DPB的中位線(xiàn)，
∴OE∥PB，而 OE?平面ACE，PB不在平面ACE內(nèi)，故 直線(xiàn)PB∥平面ACE．
（II）在平面PAD內(nèi)，作EM⊥AD，∵側(cè)面PAD丄底面ABCD，∴EM⊥底面ABCD．作MN⊥AC，N為垂足，
則∠MNE即為二面角E-AC-D的平面角．
EM=
1
2
9-1
=
2
，MN=AMcos30°=
3
3
4
，∴tan∠MNE=
EM
MN
=
4
6
9
，
故二面角E-AC-D的大小為arctan
4
6
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線(xiàn)面平行的方法，直線(xiàn)和平面平行的判定，求二面角的大小的方法，找出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線(xiàn)PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划�(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿(mǎn)足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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