【題目】函數(shù)f(x)=6cos2 sinωx﹣3(ω>0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點,B、C為圖象與x軸的交點,且△ABC為正三角形.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x0)= ,且x0∈(﹣ ),求f(x0+1)的值.
【答案】
(1)解:由已知可得,f(x)=3cosωx+ sinωx=2 sin(ωx+ ),
又正三角形ABC的高為2 ,從而BC=4,
∴函數(shù)f(x)的周期T=4×2=8,即 =8,ω= ,
∴函數(shù)f(x)的值域為[﹣2 ,2 ].
(2)解:∵f(x0)= ,由(Ⅰ)有f(x0)=2 sin( x0+ )= ,
即sin( x0+ )= ,由x0∈(﹣ ),知 x0+ ∈(﹣ , ),
∴cos( x0+ )= = .
∴f(x0+1)=2 sin( x0+ + )=2 sin[( x0+ )+ ]=2 [sin( x0+ )cos +cos( x0+ )sin ]
=2 ( × + × )
= .
【解析】(1)將f(x)化簡為f(x)=2 sin(ωx+ ),利用正弦函數(shù)的周期公式與性質(zhì)可求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;(2)由x0∈(﹣ ),知 x0+ ∈(﹣ , ),由 ,可求得即sin( x0+ )= ,利用兩角和的正弦公式即可求得f(x0+1).
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【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】無窮數(shù)列滿足:為正整數(shù),且對任意正整數(shù),為前項、、、中等于的項的個數(shù).
(1)若,求和的值;
(2)已知命題 存在正整數(shù),使得,判斷命題的真假并說明理由;
(3)若對任意正整數(shù),都有恒成立,求的值.
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【題目】記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù),例如,[2]=2,[1.5]=1,[﹣0.3]=﹣1.設(shè)a為正整數(shù),數(shù)列{xn}滿足x1=a, ,現(xiàn)有下列命題:
①當(dāng)a=5時,數(shù)列{xn}的前3項依次為5,3,2;
②對數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k,當(dāng)n≥k時總有xn=xk;
③當(dāng)n≥1時, ;
④對某個正整數(shù)k,若xk+1≥xk , 則 .
其中的真命題有 . (寫出所有真命題的編號)
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【題目】袋中裝有個大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出個球,至少得到個白球的概率是.
(1)求白球的個數(shù);
(2)從袋中任意摸出個球,記得到白球的個數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.
(1)求直線PC與平面ABC所成角的大;
(2)求二面角B﹣AP﹣C的大。
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【題目】已知a為正實數(shù),n為自然數(shù),拋物線 與x軸正半軸相交于點A,設(shè)f(n)為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距.
(1)用a和n表示f(n);
(2)求對所有n都有 成立的a的最小值;
(3)當(dāng)0<a<1時,比較 與 的大小,并說明理由.
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【題目】下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為( )
A.y=x+1
B.y=﹣x2
C.y=
D.y=x|x|
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【題目】已知動點P與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離的比值為2,點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的軌跡方程
(2)過點(﹣1,0)作直線與曲線C交于A,B兩點,設(shè)點M坐標(biāo)為(4,0),求△ABM面積的最大值.
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