Question

若正數(shù)a，b滿足

1

a

+

1

b

=1，

1

a-1

+

9

b-1

的最小值為（　　）

• A、1
• B、6
• C、9
• D、16

Answer 1

分析：正數(shù)a，b滿足

1

a

+

1

b

=1，可得a＞1，且b＞1；即a-1＞0，且b-1＞0；由

1

a

+

1

b

=1變形為a-1=

1

b-1

；化

1

a-1

+

9

b-1

為

1

a-1

+9（a-1）應(yīng)用基本不等式可求最小值．

解答：解：∵正數(shù)a，b滿足

1

a

+

1

b

=1，∴a＞1，且b＞1；

1

a

+

1

b

=1變形為

a+b

ab

=1，∴ab=a+b，∴ab-a-b=0，∴（a-1）（b-1）=1，∴a-1=

1

b-1

；
∴a-1＞0，∴

1

a-1

+

9

b-1

=

1

a-1

+9（a-1）≥2

1 a-1 •9(a-1)

=6，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

a-1

=9（a-1），即a=1±

1

3

時取“=”（由于a＞1，故取a=

4

3

），
∴

1

a-1

+

9

b-1

的最小值為6；
故選：B．

點評：本題考查了基本不等式的靈活應(yīng)用問題，應(yīng)用基本不等式a+b≥2

ab

時，要注意條件a＞0，且b＞0，在a=b時取“=”．