Question

【題目】已知函數f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6個實數根（互不相同），則實數a的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：利用換元法設t=f（x），則g（t）=a分別作出兩個函數的圖象，根據a的取值確定t的取值范圍，利用數形結合進行求解判斷即可．

詳解：作出函數f（x）和g（x）的圖象如圖：，，由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）設t=f（x），則g（t）=a，（a＞0）由y=g（t）的圖象知，①當0＜a＜1時，方程g（t）=a有兩個根-4＜t1＜-3，或-4＜t2＜-2，由t=f（x）的圖象知，當-4＜t1＜-3時，t=f（x）有0個根，當-4＜t2＜-2時，t=f（x）有0個根，此時方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有0個根，②當a=1時，方程g（t）=a有兩個根t1=-3，或t2=，由t=f（x）的圖象知，當t1=-3時，t=f（x）有0個根，當t2=時，t=f（x）有3個根，此時方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3個根，③當1＜a＜時，方程g（t）=a有兩個根0＜t1＜，或＜t2＜1，由t=f（x）的圖象知，當0＜t1＜時，t=f（x）有3個根，當＜t2＜1時，t=f（x）有3個根，此時方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6個根，當a=由圖可得同理只有5解，綜合的故若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6個實數根（互不相同），則實數a的取值范圍是