【題目】如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC90°,∠BAC30°,A1AA1CACE,F分別是AC,A1B1的中點.

1)證明:EFBC

2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1)方法一:連接,證明BC⊥平面A1EF,從而EFBC;

方法二:由條件證明A1E⊥平面ABC,以E為原點,建立如圖空間直角坐標系

計算,從而EFBC.

2)方法一:取BC中點G,連結EGGF,證明平面A1BC⊥平面EGFA從而確定∠EOG是直線EF與平面A1BC所成角(或其補角),運用余弦定理求得cosEOG,最終得出答案.

方法二:建立空間直角坐標系,先求出平面A1BC的法向量,利用向量的夾角為所求角的正弦,即可求出.

方法一:

證明:(1)連結A1E,∵A1AA1C,EAC的中點,

A1EAC,

又平面A1ACC1⊥平面ABCA1E平面A1ACC1,

平面A1ACC1平面ABCAC

A1E⊥平面ABC,∴A1EBC,

A1FAB,∠ABC90°,∴BCA1F,

BC⊥平面A1EF,∴EFBC.

解:(2)取BC中點G,連結EG、GF,則EGFA1是平行四邊形,

由于A1E⊥平面ABC,故A1EEG,

∴平行四邊形EGFA1是矩形,

由(1)得BC⊥平面EGFA1,

則平面A1BC⊥平面EGFA1,

EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上,

連結A1G,交EFO,則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成角(或其補角),

不妨設AC4,則在RtA1EG中,A1E2EG,

OA1G的中點,故,

cosEOG

∴直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.

方法二:

證明:(1)連結A1E,∵A1AA1C,EAC的中點,

A1EAC,

又平面A1ACC1⊥平面ABCA1E平面A1ACC1,

平面A1ACC1平面ABCAC,

A1E⊥平面ABC,

如圖,以E為原點,在平面ABC中,過EAC的垂線為x軸,

EC,EA1所在直線分別為yz軸,建立空間直角坐標系,

AC4,則A10,0,2),B),B1),F),C02,0),

),

0,得EFBC.

解:(2))設直線EF與平面A1BC所成角為θ,

由(1)得),02,﹣2),

設平面A1BC的法向量x,y,z),

,取x1,得1),

sinθ

∴直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.

練習冊系列答案
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分組

[05

[5,10

[1015

[15,20

[20,25]

女柜員

2

3

8

5

2

男柜員

1

3

9

4

3

1)在答題卡所給的坐標系中分別畫出男、女柜員員工的頻率分布直方圖;并求出男、女柜員的月平均不滿意次數(shù)的估計值,試根據(jù)估計值比較男、女柜員的滿意度誰高?

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