Question

2．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都不為零，其前n項(xiàng)為S_n，且滿足：2S_n=a_n（a_n+1）（n∈N^*）．
（1）若a_n＞0，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在滿足題意的無(wú)窮數(shù)列{a_n}，使得a₂₀₁₆=-2015？若存在，求出這樣的無(wú)窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由2S₁=2a₁=a₁（a₁+1），解得a₁=1，由2S_n+1=a_n+1（a_n+1+1），得{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由此能求出a_n0．
（2）由a₁=1，0=（a_n+1-a_n-1）（a_n+a_n+1），得a_n+1=a_n+1或a_n+1=-a_n，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都不為零且滿足$2{S_n}={a_n}（{{a_n}+1}）（{n∈{N^*}}）$…①
∴2S₁=2a₁=a₁（a₁+1），解得a₁=1…（2分）
∴2S_n+1=a_n+1（a_n+1+1）…②，
②-①得$2{a_{n+1}}=a_{n+1}^2-a_n^2+{a_{n+1}}-{a_n}$，
整理得到0=（a_n+1-a_n-1）（a_n+a_n+1），∴a_n+1-a_n=1…（5分）
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．…（7分）
（2）根據(jù)（1）a₁=1，0=（a_n+1-a_n-1）（a_n+a_n+1），
可得a_n+1=a_n+1或a_n+1=-a_n，…（11分）
∴從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)都有兩個(gè)分支，
∴通項(xiàng)為${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n，n≤2015}\\{2015•{{（{-1}）}^{n-1}}，n≥2016}\end{array}}\right.$的數(shù)列滿足題意，
使得a₂₀₁₆=-2015（其他符合的答案類似給分）．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的數(shù)列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．