Question

14．若過點(diǎn)（0，2）的直線與拋物線y²=4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有（　�。�

• A． 一條
• B． 兩條
• C． 三條
• D． 四條

Answer 1

分析 作出圖形并加以觀察，可得過點(diǎn)（0，2）與x軸平行的直線符合題意，另外還有拋物線的兩條切線也符合題意，即存在3條直線滿足過點(diǎn)（0，2）且與拋物線y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)．再由點(diǎn)的坐標(biāo)與拋物線的方程，結(jié)合直線的方程加以計(jì)算可得此3條直線的方程，從而得到答案．

解答 解：根據(jù)題意，可得
①當(dāng)直線過點(diǎn)A（0，2）且與x軸平行時(shí)，方程為y=2，
與拋物線y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，坐標(biāo)為（1，2）；
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與拋物線y²=4x相切于原點(diǎn)，符合題意；
③當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線AB的方程為y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去y，得k²x²+（4k-4）x+4=0，
△=（4k-4）²-16k²=0，解得k=$\frac{1}{2}$，切線方程為y=$\frac{1}{2}$x+2．
綜上所述，存在三條直線：y=2、x=0和y=2x+2滿足過點(diǎn)（0，2）且與拋物線y²=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)．
故選：C．

點(diǎn)評 本題給出拋物線和定點(diǎn)，求經(jīng)過定點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的方程和直線與拋物線的關(guān)系等知識，屬于中檔題．