Question

將圓x²+y²-2x+4y=0按向量平移后得到圓O，直線l與圓O相交于A、B，若在圓O上存在點C，使，求直線l的方程及對應(yīng)的點C坐標(biāo)．

Answer 1

解：將圓的方程x²+y²-2x+4y=0化為（x-1）²+（y+2）²=5，
∴圓x²+y²-2x+4y=0按向量平移后得到圓x²+y²=5，
∵，又，
∴AB⊥OC，，
∴直線l的斜率，設(shè)直線l的方程為，
由得 5x²+4mx+4m²-20=0，△=16m²-20（4m²-20）＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
∴，∵點在圓上，∴
解得，滿足△=16m²-20（4m²-20）＞0
當(dāng)時，l的方程為2x-4y+5=0，點C坐標(biāo)為（-1，2）；
當(dāng)時，l的方程為2x-4y-5=0，點C坐標(biāo)為（1，-2）．
分析：先求出平移后的圓的方程，設(shè)出直線的方程，并把它代入圓的方程利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出點C的坐標(biāo)的解析式，把點C的坐標(biāo)代入圓的方程，可解得m值，即得點C坐標(biāo)．
點評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，直線和園相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．