Question

如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B、D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB�，F(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積。

（1）求V（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，V（x）取得最大值？
（3）當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值。

Answer 1

解：（1）∵EF⊥AB， ∴EF⊥PE 又∵PE⊥AE，EF∩AE=E，且PE在平面ACFE外， ∴PE⊥平面ACFE ∵EF⊥AB，CD⊥AB， ∴EF∥CD ∴ 所以四邊形ACFE的面積 ∴四棱錐P-ACFE的體積 即； （2）由（1）知 令V'（x）=0x=6 ∵當(dāng)0＜x＜6時(shí)，V'（x）>0，當(dāng)6＜x＜時(shí)，V'（x）＜0 ∴當(dāng)BE=x=6時(shí)，V（x）有最大值，最大值為；
（3）如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系 則E（0，0，0），P（0，0，6），， 于是 AC與PF所成角θ的余弦值為 ∴異面直線AC與PF所成角的余弦值為。