Question

有四個關于三角函數的命題：
p₁：?x∈R，使得sinx+cosx=

3

2

；
p₂：?x，y∈R，使得sin（x+y）=sinx+siny；
p₃：?x∈[0，π]，都有

1-cos2x 2

=sinx；
p₄：任意銳角△ABC中，恒有sinA＞cosB成立；
其中真命題的個數是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：p₁：利用三角恒等變換及正弦函數的值域可得sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，從而可判斷p₁錯誤；
p₂：：?x=0，y=0∈R，使得sin（0+0）=sin0+sin0，可判斷p₂正確；
p₃：利用正弦函數的圖象與性質可知x∈[0，π]時，sinx≥0，再利用降冪公式可判斷p₃正確；
p₄：利用誘導公式及正弦函數的單調性質可判斷p₄正確．

解答： 解：p₁：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，故不存在x∈R，使得sinx+cosx=

3

2

，即p₁錯誤；
p₂：?x=0，y=0∈R，使得sin（0+0）=sin0+sin0，故p₂正確；
p₃：∵x∈[0，π]時，sinx≥0，故當x∈[0，π]時，

1-cos2x 2

=|sinx|=sinx，即p₃正確；
p₄：銳角△ABC中，A+B＞

π

2

，

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，
恒有sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB成立，即p₄正確；
綜上所述，真命題的個數是3個，
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查三角函數的誘導公式、輔助角公式及降冪公式的應用，屬于中檔題．