Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-x+

1

3

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知g(x)=-

a+1

2

x2+(a+1)x(a＞0)，若F（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上有最大值1，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x3-x+

1

3

，
∴f′（x）=x²-1，
由f′（x）=x²-1＞0，解得x＞1或x＜-1，
由f′（x）=x²-1＜0，解得-1＜x＜1，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，-1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；
（Ⅱ）∵g(x)=-

a+1

2

x2+(a+1)x(a＞0)，
∴F（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x3-x+

1

3

-

a+1

2

x2+(a+1)x=

1

3

x3-

a+1

2

•x2+ax+

1

3

，
則F′（x）=x²-1-（a+1）x+a+1=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
若0＜a＜1，
由F′（x）＞0，解得x＞1或x＜a，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由F′（x）＜0，解得a＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∵F（x）在[0，2]上有最大值 1，F(xiàn)（2）=1，
∴F（a）≤1，即a³-3a²+4≥0，
令g（a）=a³-3a²+4，則g′（a）=3a²-6a=3a（a-2），
∴g′（a）＜0，
∴g（a）＞g（1）=0，即0＜a＜1；
當(dāng)a=1時(shí)，F(xiàn)′（x）=x²-2x+1=（x-1）²≥0，F(xiàn)（x）≤F（2）=1成立；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，令F′（x）＞0得0＜x＜1或a＜x＜2，
令F′（x）＜0得1＜x＜a，F(xiàn)（2）=1，
∵F（x）在[0，2]上有最大值 1，∴F（1）≤1，即

1

3

-

a+1

2

+a+

1

3

≤1，解得a≤

5

3

，
∴1＜a≤

5

3

，
當(dāng)a≥2時(shí)，由F（x）的單調(diào)性知F（x）_max=F（1）＞F（2），故不成立；
綜上，實(shí)數(shù)a的范圍是0＜a≤

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)運(yùn)算量較大．