Question

（本小題滿分14分）已知一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是1或2．首項(xiàng)為1，且在第個(gè)1和第個(gè)1之間有個(gè)2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．記數(shù)列的前項(xiàng)的和為．參考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070

（I）試問第10個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)？

（II）求和；

（III）是否存在正整數(shù)，使得？如果存在,求出的值；如果不存在,請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）91（項(xiàng)）；（II） ；

（III）存在=993+29=1022，使．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對(duì)，那么結(jié)合已知條件得到前對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為

（2）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，

故第2012項(xiàng)在第45對(duì)中的第32個(gè)數(shù)。

（3）由于前k對(duì)所在全部項(xiàng)的和為，可知結(jié)論。

解：將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對(duì)，

即為第1對(duì)，共項(xiàng)；

為第2對(duì)，共項(xiàng)；……；

為第對(duì)，共項(xiàng)；

故前對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為．        

（I）第10個(gè)1所在的項(xiàng)之前共有9對(duì)，所以10個(gè)1為該數(shù)列的

9×(9+1)+1=91（項(xiàng)）                               …………3分

（II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，

故第2012項(xiàng)在第45對(duì)中的第32個(gè)數(shù)，從而

　　又前2012項(xiàng)中共有45個(gè)1，其余2012－45＝1967個(gè)數(shù)均為2，

于是    ……………………7分

（III）前k對(duì)所在全部項(xiàng)的和為，易得，

，，

即且自第994項(xiàng)到第1056項(xiàng)均為2，而2012-1954=58能被2整除，

故存在=993+29=1022，使．      ……………………14分

考點(diǎn)：本試題主要考查了觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和方法等知識(shí)，解題時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，層層深入的解決問題，要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是先將數(shù)列分組，便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如分為（1，2），（1，2，2，2），（1，2，2，2，2,2）…，每組的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成數(shù)列2，4，6，…，發(fā)現(xiàn)將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對(duì)，則前對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為最后數(shù)列分組求和即可。