Question

已知拋物線y=-x²+2引拋物線的切線l，使l與兩坐標軸在第一象限圍成三角形的面積最小，求l的方程．

Answer 1

設切點P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0），
由y=-x²+2得y′=-2x，
∴k₁=-2x₀．
∴l(xiāng)的方程為y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）．（4分）
令y=0，得x=

x02+2

2x0

令x=0，得y=x₀²+2，
∴三角形的面積為
S=

1

2

x02+2

2x0

•(x02+2)=

x04+4x02+4

4x0

∴S′=

(3x02-2)(x02+2)

4x02

令S′=0，得x₀=

6

3

（∵x₀＞0），
∴當0＜x₀＜

6

3

時，S′＜0；
當x₀＞

6

3

時，S′＞0．
∴x0=

6

3

時，S取極小值．
∵只有一個極值，
∴x=

6

3

時S最小，此時k₁=-

2 6

3

，切點為（

6

3

，

4

3

）．
∴l(xiāng)的方程為y-

4

3

=-

2 6

3

（x-

6

3

），
即2

6

x+3y-8=0