Question

9．已知點(diǎn)M（-1，0），N（2，5），設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l：x-y=0的對稱點(diǎn)為M′，則點(diǎn)M到直線M′N的距離是$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$；若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，則|PM|+|PN|的最小值是2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 先求出點(diǎn)M′的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求出直線M′N的方程，用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)M到直線M′N的距離．根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)求得|PM|+|PN|取得最小值為|M′N|，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：如圖所示：
點(diǎn)M（-1，0）關(guān)于直線l：x-y=0的對稱點(diǎn)為M′（0，-1），
故直線M′N的方程為 $\frac{y+1}{5+1}$=$\frac{x-0}{2-0}$，即 3x-y-1=0，
故點(diǎn)M到直線M′N的距離為 $\frac{|-3-0-1|}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$．
由于|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|，故當(dāng)點(diǎn)P是M′N和直線l的交點(diǎn)時(shí)，|PM|+|PN|取得最小值時(shí)，
且此最小值為|M′N|$\sqrt{{（5+1）}^{2}{+（2-0）}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
故答案為：$\frac{2}{5}\sqrt{10}$；2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，用兩點(diǎn)式求直線的方程，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．