Question

已知過點A(0，1)、B(4，a)且與x軸相切的圓只有一個，求a的值及所對應(yīng)的圓的方程.

Answer 1

分析：解析幾何的學科特點是將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程性質(zhì)的研究，特別是二次方程性質(zhì)的研究，本例可利用方程思想來求解.

解析：設(shè)所求圓的圓心為(m,n)，

由所求圓與x軸相切，可設(shè)圓的方程為(x-m)²+(y-n)²=n².

由A(0，1)、B(4，0)在圓上，得方程組

消去n可得關(guān)于m的方程(1-a)m²-8m+(a²-a+16)=0.③

方程③有唯一解，這有兩種情況：

(1)方程③為一次方程，有a=1，從而m=2,代入①得n=,對應(yīng)圓方程為(x-2)²+(y-)²=.

(2)方程③為二次方程，

則有Δ=a［(a-1)²+16］=0.

得a=0,從而m=4,代入①得n=,

對應(yīng)圓方程為(x-4)²+(y-)²=;

綜上可知，所求a的值為1或0.

a=1時，對應(yīng)的圓方程為(x-2)²+(y-)²=;

a=0時，對應(yīng)的圓方程為(x-4)²+(y-)²=;