Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，O為AC和BD的交點(diǎn)，過A、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-AC₁D_l，且這個(gè)幾何體的體積為．
（1）求證：OD₁∥平面BA₁C₁
（2）求棱A₁A的長(zhǎng)：
（3）求點(diǎn)D₁到平面BA₁C₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證OD_l∥平面BA₁C₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證OD_l與平面BA₁C₁內(nèi)一直線平行，取A₁C₁的中點(diǎn)M，連接BM，MD₁，易證四邊形OBMD₁是平行四邊形，則OD₁∥BM，BM?平面BA₁C₁，滿足定理所需條件；
（2）沒A₁A=h，由題意可知建立等式關(guān)系，求出所求即可；
（3）點(diǎn)D₁到平面BA₁C₁的距離即為點(diǎn)B₁到平面BA₁C₁的距離d，根據(jù)建立等式關(guān)系解之即可求出點(diǎn)D₁到平面BA₁C₁的距離．
解答：解：（1）證明：取A₁C₁的中點(diǎn)M，連接BM，MD₁，則
所以四邊形OBMD₁是平行四邊形，OD₁∥BM
又BM?平面BA₁C₁
∴OD_l∥平面BA₁C₁（4分）
（2）設(shè)A₁A=h，由題設(shè)可知（6分）
得，即
解得h=3
棱A₁A的長(zhǎng)為3（10分）
（3）點(diǎn)D₁到平面BA₁C₁的距離即為點(diǎn)B₁到平面BA₁C₁的距離d．，∴（12分）
又
∴∴
點(diǎn)D₁到平面BA₁C₁的距離（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定，以及利用體積法求高和點(diǎn)到平面的距離的度量，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．