Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（a²+1）x+1（-3＜a＜-1）若m＜n，m+n=3+a則（ ）
A．f（m）＜f（n）
B．f（m）=f（n）
C．f（m）＞f（n）
D．f（m）與f（n）的大小不能確定

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意可知函數(shù)f（x）=ax²+（a²+1）x+1為開口向下的拋物線，函數(shù)的對稱軸為x=-，可根據(jù)-3＜a＜-1，確定其取值范圍，再結(jié)合條件m＜n，m+n=3+a，分析m、n哪個(gè)離對稱軸遠(yuǎn)，從而得到答案．
解答：解：∵-3＜a＜-1，函數(shù)的對稱軸為x=-=--=（-a-），
令t=-a，則1＜t＜3，x=（t+），
∵x′=（1-）＜0，
∴x=（t+）在（1，3）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)x=-在（-3，-1）上單調(diào)遞減，
∴x＞x（-1）=1，
x=--＜x（-3）==，即對稱軸x=-∈（1，），
又m＜n，m+n=3+a，=∈（0，1），
∴m比n離對稱軸較遠(yuǎn)，由-3＜a＜-1＜0得，函數(shù)f（x）=ax²+（a²+1）x+1為開口向下的拋物線，
故f（m）＜f（n）．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于對稱軸x=-范圍的確定與=∈（0，1）的理解與應(yīng)用，屬于難題．