Question

8．點P（x₀，y₀）在橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1上，且x₀=$\sqrt{2}cosβ，{y_0}$=sinβ，0＜β＜$\frac{π}{2}$．直線l₂與直線l₁：$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}$y=1垂直，O為坐標原點，直線OP的傾斜角為α，直線l₂的傾斜角為γ．
（1）證明：點P是橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1與直線l₁的唯一公共點；
（2）證明：tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，能證明點P是橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1與直線l₁的唯一公共點．
（2）利用等比中項法能證明tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．

解答 證明：（1）直線l₁：$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}$y=1，得：y=$\frac{1}{2{y}_{0}}（2-{x}_{0}x）$，
代入橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，得（$\frac{1}{2}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4{{y}_{0}}^{2}}$）+（$\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}$-1）=0．
將$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\sqrt{2}cosβ}\\{{y}_{0}=sinβ}\end{array}\right.$代入上式，得：${x}^{2}-2\sqrt{2}cosβx+2co{s}^{2}β=0$，
∴x=$\sqrt{2}cosβ$，
∴方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{0}}{2}x+{y}_{0}y=1}\end{array}\right.$有唯一解$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，
∴點P是橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1與直線l₁的唯一公共點．
（2）$tanα=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$tanβ，
l₁的斜率為-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，l₂的斜率為tanγ=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\sqrt{2}$tanβ，
∴tanαtanγ=tan²β≠0，
∴tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．

點評 本題考查直線與橢圓有唯一交點的證明，考查tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列的證明，考查圓錐曲線、直線方程、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．