Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax³-2x²+1，若f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）
• C． （-∞，-$\frac{4\sqrt{6}}{9}$）
• D． （$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，+∞）

Answer 1

分析 令f（x）=0，由參數(shù)分離可得a=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，令g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極大值，由圖象可得a大于g（x）的極大值，即可符合條件．

解答 解：由題意可得f（x）=0，
即為ax³-2x²+1=0，
可得a=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
令g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{3}{{x}^{4}}$=$\frac{3-2{x}^{2}}{{x}^{4}}$，
可得x＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，g（x）遞減；
當(dāng)-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜x＜0，0＜x＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，g（x）遞增．
作出g（x）的圖象，可得g（x）的極大值為g（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，
由題意 可得當(dāng)a＞$\frac{4\sqrt{6}}{9}$時，f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的零點問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．